Menguasai Nilai Mutlak: Contoh Soal Ujian Kelas 1 SMA Beserta Pembahasan Lengkap
Pendahuluan: Apa Itu Nilai Mutlak?
Nilai mutlak dari suatu bilangan, yang dilambangkan dengan dua garis vertikal mengapit bilangan tersebut (misalnya, |x|), secara intuitif dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut dari angka nol pada garis bilangan. Karena jarak selalu non-negatif, maka nilai mutlak suatu bilangan selalu positif atau nol.
Secara matematis, definisi nilai mutlak adalah sebagai berikut:
$$ |x| = begincases x & textjika x ge 0 -x & textjika x < 0 endcases $$
Artinya, jika bilangan di dalam tanda mutlak adalah positif atau nol, nilai mutlaknya adalah bilangan itu sendiri. Jika bilangan di dalam tanda mutlak adalah negatif, nilai mutlaknya adalah lawan dari bilangan tersebut (yang membuatnya menjadi positif).
Contoh sederhana:
- $|5| = 5$ (karena $5 ge 0$)
- $|-5| = -(-5) = 5$ (karena $-5 < 0$)
- $|0| = 0$
Pemahaman dasar ini sangat krusial sebelum kita melangkah ke berbagai jenis soal.
I. Soal-Soal Evaluasi Ekspresi Nilai Mutlak (Dasar)
Jenis soal ini menguji pemahaman dasar kamu tentang definisi nilai mutlak. Kamu diminta untuk menghitung nilai dari suatu ekspresi yang melibatkan nilai mutlak.
Contoh Soal 1:
Hitunglah nilai dari ekspresi berikut:
a. $|-10| + |3 – 7|$
b. $|2 times (-4)| – |6 – (-2)|$
Pembahasan:
a. Kita hitung setiap bagian terlebih dahulu:
- $|-10| = 10$ (karena $-10 < 0$, maka $-(-10) = 10$)
- $|3 – 7| = |-4| = 4$ (karena $3-7 = -4$, dan $-4 < 0$, maka $-(-4) = 4$)
Sekarang, jumlahkan hasilnya: $10 + 4 = 14$.
b. Kita hitung setiap bagian terlebih dahulu:
- $|2 times (-4)| = |-8| = 8$ (karena $2 times (-4) = -8$, dan $-8 < 0$, maka $-(-8) = 8$)
- $|6 – (-2)| = |6 + 2| = |8| = 8$ (karena $6 – (-2) = 6+2 = 8$, dan $8 ge 0$, maka $8$)
Sekarang, kurangkan hasilnya: $8 – 8 = 0$.
II. Soal-Soal Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih ekspresi nilai mutlak. Ada beberapa tipe dasar yang sering muncul.
Tipe 1: $|ax+b| = c$, dengan $c ge 0$
Jika $|X| = c$ (dengan $c ge 0$), maka $X = c$ atau $X = -c$. Ini karena ada dua titik pada garis bilangan yang berjarak $c$ dari nol, yaitu $c$ dan $-c$.
Contoh Soal 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 7$.
Pembahasan:
Berdasarkan definisi, ada dua kemungkinan:
-
$2x – 1 = 7$
$2x = 7 + 1$
$2x = 8$
$x = 4$ -
$2x – 1 = -7$
$2x = -7 + 1$
$2x = -6$
$x = -3$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $-3, 4$.
Tipe 2: $|ax+b| = |cx+d|$
Untuk tipe ini, kita bisa menggunakan sifat $|X| = |Y| implies X = Y$ atau $X = -Y$. Alternatif lain yang sangat efektif adalah mengkuadratkan kedua ruas, karena $|X|^2 = X^2$.
Contoh Soal 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|3x + 2| = |x – 6|$.
Pembahasan (Metode 1: Menggunakan sifat $X=Y$ atau $X=-Y$):
-
$3x + 2 = x – 6$
$3x – x = -6 – 2$
$2x = -8$
$x = -4$ -
$3x + 2 = -(x – 6)$
$3x + 2 = -x + 6$
$3x + x = 6 – 2$
$4x = 4$
$x = 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $-4, 1$.
Pembahasan (Metode 2: Mengkuadratkan kedua ruas):
$(|3x + 2|)^2 = (|x – 6|)^2$
$(3x + 2)^2 = (x – 6)^2$
$(3x + 2)^2 – (x – 6)^2 = 0$
Ini adalah bentuk selisih kuadrat $A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)$.
Dengan $A = 3x+2$ dan $B = x-6$:
$((3x + 2) – (x – 6))((3x + 2) + (x – 6)) = 0$
$(3x + 2 – x + 6)(3x + 2 + x – 6) = 0$
$(2x + 8)(4x – 4) = 0$
Dari sini, kita punya dua kemungkinan:
-
$2x + 8 = 0$
$2x = -8$
$x = -4$ -
$4x – 4 = 0$
$4x = 4$
$x = 1$
Hasilnya sama, $-4, 1$. Metode ini seringkali lebih cepat untuk tipe soal ini.
Tipe 3: $|ax+b| = cx+d$ (Ruas kanan berupa ekspresi variabel)
Ini adalah tipe yang sedikit lebih rumit karena kita harus mempertimbangkan syarat bahwa ruas kanan ($cx+d$) harus non-negatif, karena nilai mutlak selalu non-negatif.
Jika $|X| = Y$, maka $X = Y$ atau $X = -Y$, dengan syarat $Y ge 0$.
Contoh Soal 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|x + 5| = 2x – 1$.
Pembahasan:
Pertama, kita tentukan syarat untuk ruas kanan:
$2x – 1 ge 0$
$2x ge 1$
$x ge frac12$
Sekarang, kita pecah menjadi dua kasus:
-
$x + 5 = 2x – 1$
$5 + 1 = 2x – x$
$6 = x$
$x = 6$. Kita cek apakah $x=6$ memenuhi syarat $x ge frac12$? Ya, $6 ge frac12$. Jadi, $x=6$ adalah solusi yang valid. -
$x + 5 = -(2x – 1)$
$x + 5 = -2x + 1$
$x + 2x = 1 – 5$
$3x = -4$
$x = -frac43$. Kita cek apakah $x=-frac43$ memenuhi syarat $x ge frac12$? Tidak, $-frac43 < frac12$. Jadi, $x=-frac43$ bukan solusi yang valid.
Hanya $x=6$ yang memenuhi kedua kondisi.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $6$.
Penting: Selalu periksa syarat untuk tipe soal ini. Mengabaikan syarat ini adalah kesalahan umum yang sering terjadi.
III. Soal-Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih ekspresi nilai mutlak dengan tanda ketidaksamaan ($<, >, le, ge$).
Tipe 1: $|ax+b| < c$, dengan $c > 0$
Jika $|X| < c$ (dengan $c > 0$), maka $-c < X < c$. Ini berarti $X$ berada di antara $-c$ dan $c$ pada garis bilangan.
Contoh Soal 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x – 2| < 4$.
Pembahasan:
Berdasarkan sifat di atas, kita dapat menulisnya sebagai:
$-4 < 3x – 2 < 4$
Sekarang, kita pisahkan dan selesaikan dua pertidaksamaan secara terpisah atau selesaikan sekaligus:
$-4 < 3x – 2$
$-4 + 2 < 3x$
$-2 < 3x$
$-frac23 < x$
Dan,
$3x – 2 < 4$
$3x < 4 + 2$
$3x < 6$
$x < 2$
Gabungkan kedua hasil: $-frac23 < x < 2$.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x mid -frac23 < x < 2, x in mathbbR$.
Tipe 2: $|ax+b| > c$, dengan $c ge 0$
Jika $|X| > c$ (dengan $c ge 0$), maka $X > c$ atau $X < -c$. Ini berarti $X$ berada di luar interval antara $-c$ dan $c$ pada garis bilangan.
Contoh Soal 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|2x + 5| ge 9$.
Pembahasan:
Berdasarkan sifat di atas, ada dua kemungkinan:
-
$2x + 5 ge 9$
$2x ge 9 – 5$
$2x ge 4$
$x ge 2$ -
$2x + 5 le -9$
$2x le -9 – 5$
$2x le -14$
$x le -7$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x mid x le -7 text atau x ge 2, x in mathbbR$.
Tipe 3: Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Dua Tanda Mutlak
Mirip dengan persamaan, kita bisa menggunakan metode mengkuadratkan kedua ruas.
Contoh Soal 7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x – 3| < |2x + 1|$.
Pembahasan:
Kita kuadratkan kedua ruas (karena kedua ruas pasti non-negatif):
$(x – 3)^2 < (2x + 1)^2$
$x^2 – 6x + 9 < 4x^2 + 4x + 1$
$0 < 4x^2 – x^2 + 4x + 6x + 1 – 9$
$0 < 3x^2 + 10x – 8$
Sekarang, kita cari akar-akar dari $3x^2 + 10x – 8 = 0$ menggunakan rumus ABC atau pemfaktoran.
Kita coba faktorkan: $(3x – 2)(x + 4) = 0$
Akar-akarnya adalah $x = frac23$ dan $x = -4$.
Karena ini adalah pertidaksamaan kuadrat $3x^2 + 10x – 8 > 0$ dan koefisien $x^2$ (yaitu 3) adalah positif (parabola terbuka ke atas), maka nilai $3x^2 + 10x – 8$ akan positif (lebih besar dari 0) di luar akar-akarnya.
Jadi, $x < -4$ atau $x > frac23$.
Himpunan penyelesaiannya adalah $x mid x < -4 text atau x > frac23, x in mathbbR$.
Tipe 4: Pertidaksamaan Nilai Mutlak yang Lebih Kompleks (Menggunakan Definisi)
Kadang-kadang, soal bisa menjadi lebih rumit, misalnya melibatkan ekspresi nilai mutlak di dalam nilai mutlak atau melibatkan lebih dari satu ekspresi nilai mutlak yang tidak bisa diselesaikan dengan kuadrat. Dalam kasus ini, definisi nilai mutlak menjadi alat utama, dengan melakukan analisis kasus berdasarkan titik-titik kritis.
Titik kritis adalah nilai $x$ yang membuat ekspresi di dalam tanda mutlak menjadi nol.
Contoh Soal 8:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x – 1| + |x + 2| ge 5$.
Pembahasan:
Titik-titik kritisnya adalah $x – 1 = 0 implies x = 1$ dan $x + 2 = 0 implies x = -2$.
Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval:
- $x < -2$
- $-2 le x < 1$
- $x ge 1$
Kasus 1: $x < -2$
- $x – 1$ akan negatif, jadi $|x – 1| = -(x – 1) = -x + 1$
- $x + 2$ akan negatif, jadi $|x + 2| = -(x + 2) = -x – 2$
Substitusikan ke pertidaksamaan:
$(-x + 1) + (-x – 2) ge 5$
$-2x – 1 ge 5$
$-2x ge 6$
$x le -3$
Irisan dengan interval $x < -2$ adalah $x le -3$.
Kasus 2: $-2 le x < 1$
- $x – 1$ akan negatif, jadi $|x – 1| = -(x – 1) = -x + 1$
- $x + 2$ akan positif atau nol, jadi $|x + 2| = x + 2$
Substitusikan ke pertidaksamaan:
$(-x + 1) + (x + 2) ge 5$
$3 ge 5$
Ini adalah pernyataan yang salah. Jadi, tidak ada solusi di interval ini.
Kasus 3: $x ge 1$
- $x – 1$ akan positif atau nol, jadi $|x – 1| = x – 1$
- $x + 2$ akan positif, jadi $|x + 2| = x + 2$
Substitusikan ke pertidaksamaan:
$(x – 1) + (x + 2) ge 5$
$2x + 1 ge 5$
$2x ge 4$
$x ge 2$
Irisan dengan interval $x ge 1$ adalah $x ge 2$.
Gabungkan semua solusi dari setiap kasus: $x le -3$ atau $x ge 2$.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x mid x le -3 text atau x ge 2, x in mathbbR$.
IV. Soal Cerita / Aplikasi Nilai Mutlak
Nilai mutlak sering digunakan untuk menggambarkan jarak, toleransi, atau deviasi dari suatu nilai ideal.
Contoh Soal 9:
Sebuah pabrik memproduksi kawat dengan panjang ideal 50 cm. Namun, ada toleransi kesalahan produksi sebesar 0,5 cm. Tuliskan pertidaksamaan nilai mutlak untuk menyatakan panjang kawat yang masih dapat diterima, kemudian tentukan rentang panjang kawat tersebut.
Pembahasan:
Misalkan $P$ adalah panjang kawat yang diproduksi.
Panjang ideal adalah 50 cm.
Toleransi kesalahan adalah 0,5 cm.
Artinya, selisih antara panjang kawat yang diproduksi ($P$) dengan panjang ideal (50 cm) harus kurang dari atau sama dengan toleransi kesalahan (0,5 cm).
Pertidaksamaan nilai mutlaknya adalah:
$|P – 50| le 0,5$
Untuk menentukan rentang panjang kawat yang dapat diterima, kita selesaikan pertidaksamaan ini:
$-0,5 le P – 50 le 0,5$
Tambahkan 50 ke semua bagian:
$50 – 0,5 le P le 50 + 0,5$
$49,5 le P le 50,5$
Jadi, rentang panjang kawat yang masih dapat diterima adalah dari 49,5 cm hingga 50,5 cm.
Strategi Umum untuk Menyelesaikan Soal Nilai Mutlak:
- Pahami Definisi: Ini adalah fondasi utama. Selalu ingat bahwa $|x| = x$ jika $x ge 0$ dan $|x| = -x$ jika $x < 0$.
- Identifikasi Tipe Soal: Apakah itu persamaan atau pertidaksamaan? Berapa banyak ekspresi nilai mutlak yang ada? Apakah ruas kanan mengandung variabel?
- Gunakan Sifat yang Tepat:
- $|X| = c implies X = c$ atau $X = -c$
- $|X| = |Y| implies X = Y$ atau $X = -Y$ (atau kuadratkan kedua ruas)
- $|X| < c implies -c < X < c$
- $|X| > c implies X > c$ atau $X < -c$
- Analisis Kasus (Titik Kritis): Untuk soal yang lebih kompleks (terutama pertidaksamaan dengan beberapa nilai mutlak atau persamaan $|X|=Y$ di mana $Y$ bisa negatif), pecah soal berdasarkan titik-titik kritis (nilai $x$ yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol).
- Periksa Syarat: Untuk persamaan $|X|=Y$, pastikan $Y ge 0$. Untuk pertidaksamaan, perhatikan arah tanda ketidaksamaan.
- Uji Titik (untuk pertidaksamaan): Setelah menemukan akar-akar atau batas interval, uji titik di setiap interval pada garis bilangan untuk memastikan kebenaran solusinya.
- Gabungkan Solusi: Pastikan untuk menggabungkan semua solusi dari setiap kasus atau interval dengan benar (menggunakan "dan" atau "atau" sesuai konteks).
Tips Menghadapi Ujian:
- Latihan Rutin: Kunci penguasaan matematika adalah latihan. Kerjakan soal-soal serupa dari buku pelajaran atau sumber lain.
- Pahami Konsep, Bukan Hanya Hafal Rumus: Jika kamu mengerti definisi dan alasan di balik sifat-sifat nilai mutlak, kamu akan lebih fleksibel dalam menyelesaikan soal yang bervariasi.
- Teliti dan Hati-hati: Kesalahan tanda atau kesalahan perhitungan kecil seringkali terjadi. Periksa kembali setiap langkahmu.
- Manajemen Waktu: Alokasikan waktu yang cukup untuk setiap soal, dan jangan terpaku terlalu lama pada satu soal yang sulit. Lewati dulu dan kembali lagi jika ada waktu.
- Jangan Panik: Ketenangan membantu kamu berpikir lebih jernih.
Penutup
Nilai mutlak adalah topik yang menarik dan penting. Dengan pemahaman yang kuat tentang definisinya dan latihan yang konsisten, kamu pasti bisa menaklukkan berbagai jenis soal nilai mutlak di ujian kelas 1 SMA. Ingatlah bahwa setiap soal adalah kesempatan untuk belajar dan meningkatkan kemampuanmu. Selamat belajar dan semoga sukses dalam ujianmu!