Contoh soal kombinasi angka sma kelas 2

Menguasai Kombinasi Angka: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal SMA Kelas 2

Dalam dunia matematika, kombinasi merupakan salah satu konsep fundamental yang memiliki peran krusial dalam pemecahan berbagai masalah. Khususnya bagi siswa SMA kelas 2, pemahaman mendalam tentang kombinasi angka sangat penting, karena konsep ini menjadi dasar bagi topik-topik yang lebih kompleks di jenjang pendidikan selanjutnya, seperti statistika, peluang, dan bahkan dalam berbagai aplikasi di bidang sains dan teknologi.

Artikel ini akan mengupas tuntas tentang kombinasi angka, mulai dari definisi dasar, perbedaan mendasar dengan permutasi, hingga berbagai contoh soal yang relevan dengan kurikulum SMA kelas 2. Kami akan menyajikan penjelasan yang mudah dipahami dan langkah-langkah penyelesaian yang terstruktur untuk membantu Anda menguasai materi ini.

Apa Itu Kombinasi Angka?

Secara sederhana, kombinasi adalah cara memilih sejumlah elemen dari himpunan yang lebih besar tanpa memperhatikan urutan pemilihan elemen tersebut. Bayangkan Anda memiliki sekumpulan benda, dan Anda ingin mengambil beberapa di antaranya. Jika urutan Anda mengambil benda-benda tersebut tidak penting, maka itu adalah masalah kombinasi.

Misalnya, jika Anda memiliki buah apel, jeruk, dan pisang, lalu Anda ingin memilih dua buah. Pilihan Anda adalah:

• Apel dan Jeruk
• Apel dan Pisang
• Jeruk dan Pisang

Perhatikan bahwa "Apel dan Jeruk" sama saja dengan "Jeruk dan Apel". Urutan pemilihan tidak menghasilkan susunan yang berbeda. Inilah inti dari kombinasi.

Perbedaan Kunci: Kombinasi vs. Permutasi

Seringkali, konsep kombinasi disamakan dengan permutasi. Namun, ada perbedaan mendasar yang perlu dipahami:

• Kombinasi: Urutan elemen tidak penting.
• Permutasi: Urutan elemen penting.

Mari kita gunakan contoh yang sama: memilih dua buah dari apel, jeruk, dan pisang.

Jika ini adalah masalah permutasi, maka susunannya akan menjadi:

• Apel, Jeruk
• Jeruk, Apel
• Apel, Pisang
• Pisang, Apel
• Jeruk, Pisang
• Pisang, Jeruk

Dalam permutasi, "Apel, Jeruk" dianggap berbeda dengan "Jeruk, Apel".

Rumus matematika untuk kombinasi dan permutasi juga berbeda:

• Rumus Kombinasi: Jumlah cara memilih $k$ elemen dari himpunan $n$ elemen tanpa memperhatikan urutan adalah:
  $C(n, k) = binomnk = fracn!k!(n-k)!$

• Rumus Permutasi: Jumlah cara memilih $k$ elemen dari himpunan $n$ elemen dengan memperhatikan urutan adalah:
  $P(n, k) = fracn!(n-k)!$

Di mana ‘$n!$’ (n faktorial) adalah hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga $n$. Misalnya, $5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$.

Memahami Notasi Kombinasi

Dalam matematika, kombinasi sering ditulis dengan notasi $binomnk$, yang dibaca "n pilih k" atau "kombinasi n diambil k". Notasi ini sangat umum digunakan dalam soal-soal ujian.

Contoh Soal Kombinasi Angka SMA Kelas 2 Beserta Pembahasannya

Mari kita selami berbagai contoh soal yang akan membantu Anda mengaplikasikan konsep kombinasi.

Soal 1: Pemilihan Tim Sepak Bola

Sebuah klub sepak bola memiliki 15 pemain. Berapa banyak cara berbeda untuk memilih 11 pemain untuk bermain dalam sebuah pertandingan?

Analisis Soal:
Dalam pemilihan pemain sepak bola, urutan pemain yang dipilih tidak penting. Yang terpenting adalah siapa saja yang masuk dalam tim. Oleh karena itu, ini adalah masalah kombinasi.

• Jumlah total pemain ($n$) = 15
• Jumlah pemain yang dipilih ($k$) = 11

Penyelesaian:
Kita menggunakan rumus kombinasi:
$C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$

$C(15, 11) = frac15!11!(15-11)!$
$C(15, 11) = frac15!11!4!$

Untuk menyederhanakan perhitungan, kita bisa menguraikan $15!$ sampai $11!$:
$C(15, 11) = frac15 times 14 times 13 times 12 times 11!11! times (4 times 3 times 2 times 1)$

Cancel out $11!$:
$C(15, 11) = frac15 times 14 times 13 times 124 times 3 times 2 times 1$

Hitung penyebutnya: $4 times 3 times 2 times 1 = 24$.
$C(15, 11) = frac15 times 14 times 13 times 1224$

Sekarang, kita bisa menyederhanakan perkalian di pembilang dan membaginya dengan 24.
$15 times 14 = 210$
$13 times 12 = 156$
$210 times 156 = 32760$

$C(15, 11) = frac3276024$

$C(15, 11) = 1365$

Jawaban: Terdapat 1.365 cara berbeda untuk memilih 11 pemain dari 15 pemain.

Soal 2: Memilih Buku dari Rak

Seorang siswa memiliki 8 buku matematika dan 6 buku fisika. Siswa tersebut ingin meminjam 3 buku matematika dan 2 buku fisika dari perpustakaan. Berapa banyak cara berbeda siswa tersebut dapat memilih buku-buku tersebut?

Analisis Soal:
Pemilihan buku matematika dan pemilihan buku fisika adalah dua kejadian independen. Urutan pemilihan buku dalam setiap mata pelajaran tidak penting.

• Jumlah buku matematika yang tersedia ($n_m$) = 8
• Jumlah buku matematika yang dipilih ($k_m$) = 3
• Jumlah buku fisika yang tersedia ($n_f$) = 6
• Jumlah buku fisika yang dipilih ($k_f$) = 2

Penyelesaian:
Pertama, kita hitung cara memilih buku matematika:
$C(n_m, k_m) = C(8, 3) = frac8!3!(8-3)! = frac8!3!5!$
$C(8, 3) = frac8 times 7 times 6 times 5! (3 times 2 times 1) times 5!$
$C(8, 3) = frac8 times 7 times 63 times 2 times 1 = frac3366 = 56$

Selanjutnya, kita hitung cara memilih buku fisika:
$C(n_f, k_f) = C(6, 2) = frac6!2!(6-2)! = frac6!2!4!$
$C(6, 2) = frac6 times 5 times 4!(2 times 1) times 4!$
$C(6, 2) = frac6 times 52 times 1 = frac302 = 15$

Karena kedua pemilihan ini harus terjadi bersamaan, kita kalikan jumlah cara dari masing-masing pemilihan (menggunakan kaidah perkalian):
Total cara = (Cara memilih buku matematika) $times$ (Cara memilih buku fisika)
Total cara = $56 times 15$

$56 times 15 = 840$

Jawaban: Terdapat 840 cara berbeda siswa tersebut dapat memilih buku-buku tersebut.

Soal 3: Pembentukan Panitia dengan Syarat Tertentu

Dari 10 siswa, akan dibentuk sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang. Panitia ini harus memiliki minimal 2 siswa perempuan. Jika diketahui ada 4 siswa perempuan dan 6 siswa laki-laki, berapa banyak cara membentuk panitia tersebut?

Analisis Soal:
Ini adalah masalah kombinasi dengan syarat. Syarat "minimal 2 siswa perempuan" berarti panitia bisa memiliki 2 perempuan atau 3 perempuan atau 4 perempuan (karena total perempuan hanya 4). Kita perlu menghitung kasus-kasus yang memenuhi syarat ini dan menjumlahkannya.

• Total siswa = 10
• Jumlah siswa perempuan = 4
• Jumlah siswa laki-laki = 6
• Ukuran panitia = 5 orang

Kasus yang memenuhi syarat "minimal 2 siswa perempuan":

• Kasus 1: 2 perempuan dan 3 laki-laki

  • Memilih 2 perempuan dari 4: $C(4, 2)$
  • Memilih 3 laki-laki dari 6: $C(6, 3)$

• Kasus 2: 3 perempuan dan 2 laki-laki

  • Memilih 3 perempuan dari 4: $C(4, 3)$
  • Memilih 2 laki-laki dari 6: $C(6, 2)$

• Kasus 3: 4 perempuan dan 1 laki-laki

  • Memilih 4 perempuan dari 4: $C(4, 4)$
  • Memilih 1 laki-laki dari 6: $C(6, 1)$

Penyelesaian:

Hitung kombinasi untuk setiap kasus:

• Kasus 1:

  • $C(4, 2) = frac4!2!2! = frac4 times 32 times 1 = 6$
  • $C(6, 3) = frac6!3!3! = frac6 times 5 times 43 times 2 times 1 = 20$
  • Jumlah cara Kasus 1 = $C(4, 2) times C(6, 3) = 6 times 20 = 120$

• Kasus 2:

  • $C(4, 3) = frac4!3!1! = frac41 = 4$
  • $C(6, 2) = frac6!2!4! = frac6 times 52 times 1 = 15$
  • Jumlah cara Kasus 2 = $C(4, 3) times C(6, 2) = 4 times 15 = 60$

• Kasus 3:

  • $C(4, 4) = frac4!4!0! = 1$ (Ingat, $0! = 1$)
  • $C(6, 1) = frac6!1!5! = frac61 = 6$
  • Jumlah cara Kasus 3 = $C(4, 4) times C(6, 1) = 1 times 6 = 6$

Jumlah total cara membentuk panitia adalah jumlah dari semua kasus yang memenuhi syarat:
Total cara = 120 (Kasus 1) + 60 (Kasus 2) + 6 (Kasus 3)
Total cara = 186

Jawaban: Terdapat 186 cara membentuk panitia tersebut.

Cara Alternatif (Menggunakan Komplemen):
Kita juga bisa menyelesaikan soal ini dengan menghitung total semua kemungkinan panitia, lalu menguranginya dengan panitia yang tidak memenuhi syarat (yaitu, panitia dengan kurang dari 2 perempuan).

• Panitia yang tidak memenuhi syarat:
  • 0 perempuan dan 5 laki-laki
  • 1 perempuan dan 4 laki-laki

Total semua kemungkinan panitia (tanpa syarat):
$C(10, 5) = frac10!5!5! = frac10 times 9 times 8 times 7 times 65 times 4 times 3 times 2 times 1 = 252$

Hitung panitia yang tidak memenuhi syarat:

• 0 perempuan, 5 laki-laki: $C(4, 0) times C(6, 5) = 1 times 6 = 6$
• 1 perempuan, 4 laki-laki: $C(4, 1) times C(6, 4) = 4 times 15 = 60$
• Total panitia tidak memenuhi syarat = $6 + 60 = 66$

Jumlah cara yang memenuhi syarat = Total semua kemungkinan – Total panitia tidak memenuhi syarat
Jumlah cara = $252 – 66 = 186$

Hasilnya sama, menunjukkan kebenaran kedua metode.

Soal 4: Memilih Kartu dari Setumpuk

Dari sebuah setumpuk kartu remi standar (52 kartu), berapa banyak cara memilih 5 kartu yang terdiri dari 3 kartu As dan 2 kartu King?

Analisis Soal:
Dalam setumpuk kartu remi, terdapat 4 kartu As dan 4 kartu King.

• Jumlah total kartu As = 4
• Jumlah kartu As yang dipilih = 3
• Jumlah total kartu King = 4
• Jumlah kartu King yang dipilih = 2

Penyelesaian:
Sama seperti Soal 2, ini adalah dua kejadian independen yang harus terjadi bersamaan.

• Cara memilih 3 kartu As dari 4 kartu As:
  $C(4, 3) = frac4!3!(4-3)! = frac4!3!1! = frac41 = 4$

• Cara memilih 2 kartu King dari 4 kartu King:
  $C(4, 2) = frac4!2!(4-2)! = frac4!2!2! = frac4 times 32 times 1 = 6$

Total cara = (Cara memilih kartu As) $times$ (Cara memilih kartu King)
Total cara = $4 times 6 = 24$

Jawaban: Terdapat 24 cara memilih 5 kartu yang terdiri dari 3 kartu As dan 2 kartu King.

Soal 5: Pembentukan Kelompok Belajar

Sekelompok siswa terdiri dari 5 siswa kelas X, 7 siswa kelas XI, dan 4 siswa kelas XII. Akan dibentuk sebuah kelompok belajar yang terdiri dari 3 siswa. Berapa banyak cara membentuk kelompok belajar tersebut jika:
a) Tidak ada batasan tingkatan kelas.
b) Kelompok harus terdiri dari 1 siswa dari setiap tingkatan kelas.

Analisis Soal:
Ini adalah masalah kombinasi yang dibagi menjadi dua bagian dengan skenario yang berbeda.

Penyelesaian Bagian a): Tidak ada batasan tingkatan kelas.
Jumlah total siswa = 5 (kelas X) + 7 (kelas XI) + 4 (kelas XII) = 16 siswa.
Kita perlu memilih 3 siswa dari 16 siswa tersebut.
$n = 16$, $k = 3$
$C(16, 3) = frac16!3!(16-3)! = frac16!3!13!$
$C(16, 3) = frac16 times 15 times 143 times 2 times 1 = frac33606 = 560$

Jawaban Bagian a): Terdapat 560 cara membentuk kelompok belajar jika tidak ada batasan tingkatan kelas.

Penyelesaian Bagian b): Kelompok harus terdiri dari 1 siswa dari setiap tingkatan kelas.
Ini berarti kita harus memilih 1 siswa dari kelas X, 1 siswa dari kelas XI, dan 1 siswa dari kelas XII.

• Memilih 1 siswa kelas X dari 5 siswa kelas X: $C(5, 1) = 5$
• Memilih 1 siswa kelas XI dari 7 siswa kelas XI: $C(7, 1) = 7$
• Memilih 1 siswa kelas XII dari 4 siswa kelas XII: $C(4, 1) = 4$

Karena ketiga pemilihan ini harus terjadi bersamaan, kita kalikan jumlah caranya:
Total cara = $C(5, 1) times C(7, 1) times C(4, 1)$
Total cara = $5 times 7 times 4$
Total cara = 140

Jawaban Bagian b): Terdapat 140 cara membentuk kelompok belajar jika harus terdiri dari 1 siswa dari setiap tingkatan kelas.

Tips Sukses dalam Mengerjakan Soal Kombinasi

1. Pahami Pertanyaan: Baca soal dengan cermat. Identifikasi apa yang diminta dan informasi apa yang diberikan.
2. Tentukan Urutan Penting atau Tidak: Ini adalah langkah krusial. Jika urutan tidak penting, gunakan kombinasi. Jika urutan penting, gunakan permutasi. Dalam soal-soal kombinasi, seringkali kata kunci seperti "memilih", "mengambil", "membentuk kelompok/tim", "memilih delegasi" mengindikasikan kombinasi.
3. Identifikasi Nilai $n$ dan $k$: $n$ adalah jumlah total objek yang tersedia, dan $k$ adalah jumlah objek yang akan dipilih.
4. Gunakan Rumus yang Tepat: Pastikan Anda menggunakan rumus kombinasi $C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$.
5. Sederhanakan Perhitungan: Gunakan sifat faktorial untuk membatalkan suku yang sama agar perhitungan lebih mudah.
6. Perhatikan Syarat Khusus: Jika ada syarat tambahan (seperti minimal atau maksimal jumlah tertentu, atau kondisi tertentu), pecah masalah menjadi beberapa kasus yang memenuhi syarat atau gunakan metode komplemen.
7. Latihan Rutin: Semakin banyak Anda berlatih, semakin terbiasa Anda mengenali pola soal dan menerapkan konsepnya.

Kesimpulan

Konsep kombinasi angka adalah alat matematika yang ampuh untuk menghitung berapa banyak cara kita dapat memilih sekumpulan objek dari himpunan yang lebih besar tanpa memperhatikan urutan. Memahami perbedaannya dengan permutasi, menguasai rumusnya, dan berlatih dengan berbagai contoh soal akan membekali siswa SMA kelas 2 dengan kemampuan yang solid dalam topik ini.

Dengan pendekatan yang sistematis dan latihan yang konsisten, Anda tidak hanya akan mampu menyelesaikan soal-soal kombinasi dengan percaya diri, tetapi juga akan membangun fondasi yang kuat untuk pemahaman matematika yang lebih lanjut. Ingatlah bahwa setiap soal kombinasi memiliki cerita tersendiri, dan kunci utamanya adalah menerjemahkan cerita tersebut ke dalam bahasa matematika yang tepat.

Teruslah berlatih, jangan ragu untuk bertanya, dan Anda akan segera menguasai kombinasi angka!

>