Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 2: Kumpulan Soal dan Pembahasan Lengkap
Matematika di kelas 11 semester 2 seringkali dianggap sebagai salah satu fase paling menantang namun juga paling menarik dalam kurikulum SMA. Pada semester ini, siswa akan mendalami berbagai konsep fundamental yang menjadi jembatan menuju materi perkuliahan, terutama di bidang sains dan teknik. Topik-topik seperti Lingkaran, Suku Banyak, Transformasi Geometri, Turunan (Diferensial), dan Peluang akan menjadi santapan sehari-hari.
Menguasai materi-materi ini bukan hanya tentang menghafal rumus, melainkan memahami konsep dasar, melatih logika berpikir, dan mampu mengaplikasikannya dalam berbagai jenis soal. Artikel ini akan menyajikan beberapa contoh soal dari topik-topik kunci di Matematika kelas 11 semester 2 beserta pembahasan lengkapnya. Tujuannya adalah membantu Anda memperkuat pemahaman dan mempersiapkan diri menghadapi ujian.
Mari kita selami satu per satu!
1. Lingkaran
Lingkaran adalah salah satu bentuk geometri dasar yang memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari maupun bidang ilmu lainnya. Di kelas 11 semester 2, Anda akan belajar tentang persamaan lingkaran, kedudukan titik/garis terhadap lingkaran, dan persamaan garis singgung lingkaran.
Konsep Kunci:
- Persamaan Lingkaran:
- Pusat (0,0) dan jari-jari r: $x^2 + y^2 = r^2$
- Pusat (a,b) dan jari-jari r: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
- Bentuk Umum: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, dengan pusat $(-fracA2, -fracB2)$ dan jari-jari $r = sqrt(-fracA2)^2 + (-fracB2)^2 – C$
- Garis Singgung Lingkaran:
- Melalui titik $(x_1, y_1)$ pada lingkaran pusat (0,0): $x_1x + y_1y = r^2$
- Melalui titik $(x_1, y_1)$ pada lingkaran pusat (a,b): $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$
- Dengan gradien $m$:
- Pusat (0,0): $y = mx pm rsqrtm^2+1$
- Pusat (a,b): $y-b = m(x-a) pm rsqrtm^2+1$
Contoh Soal 1.1: Persamaan Lingkaran
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, -3) dan menyinggung garis $3x – 4y + 7 = 0$.
Pembahasan 1.1:
Untuk menemukan persamaan lingkaran, kita membutuhkan pusat dan jari-jari. Pusat sudah diketahui, yaitu $(a,b) = (2, -3)$.
Jari-jari (r) adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung. Kita bisa menggunakan rumus jarak titik $(x_1, y_1)$ ke garis $Ax + By + C = 0$:
$d = fracAx_1 + By_1 + CsqrtA^2 + B^2$
Dalam kasus ini, $(x_1, y_1) = (2, -3)$ dan garisnya adalah $3x – 4y + 7 = 0$, sehingga $A=3$, $B=-4$, $C=7$.
$r = fracsqrt3^2 + (-4)^2$
$r = fracsqrt9 + 16$
$r = fracsqrt25$
$r = frac255$
$r = 5$
Jadi, jari-jari lingkaran adalah 5.
Dengan pusat $(a,b) = (2, -3)$ dan jari-jari $r=5$, persamaan lingkarannya adalah:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
$(x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 5^2$
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$
Jika diminta dalam bentuk umum, kita bisa jabarkan:
$(x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$
$x^2 + y^2 – 4x + 6y + 4 + 9 – 25 = 0$
$x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$
Contoh Soal 1.2: Garis Singgung Lingkaran
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 10$ yang melalui titik (1, -3).
Pembahasan 1.2:
Pertama, kita perlu memastikan apakah titik (1, -3) berada pada lingkaran, di dalam, atau di luar lingkaran. Substitusikan titik (1, -3) ke persamaan lingkaran:
$1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.
Karena hasilnya sama dengan $r^2$ (yaitu 10), maka titik (1, -3) berada pada lingkaran.
Untuk garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ yang melalui titik $(x_1, y_1)$ pada lingkaran, rumusnya adalah $x_1x + y_1y = r^2$.
Dalam kasus ini, $x_1 = 1$, $y_1 = -3$, dan $r^2 = 10$.
Maka, persamaan garis singgungnya adalah:
$1 cdot x + (-3) cdot y = 10$
$x – 3y = 10$
Atau, bisa juga ditulis dalam bentuk $x – 3y – 10 = 0$.
2. Suku Banyak (Polinom)
Suku banyak adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari variabel dan koefisien, yang hanya melibatkan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pangkat bilangan bulat non-negatif dari variabel. Materi suku banyak di kelas 11 meliputi pembagian suku banyak, teorema sisa, dan teorema faktor.
Konsep Kunci:
- Pembagian Suku Banyak: Dapat dilakukan dengan metode bersusun panjang atau metode Horner (sintetik).
- Teorema Sisa: Jika suku banyak $P(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisanya adalah $P(a)$. Jika $P(x)$ dibagi oleh $(ax+b)$, maka sisanya adalah $P(-fracba)$.
- Teorema Faktor: $(x-a)$ adalah faktor dari $P(x)$ jika dan hanya jika $P(a) = 0$.
Contoh Soal 2.1: Teorema Sisa
Tentukan sisa pembagian dari suku banyak $P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 4x + 1$ dibagi oleh $(x-2)$.
Pembahasan 2.1:
Menurut Teorema Sisa, jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisanya adalah $P(a)$.
Dalam kasus ini, pembaginya adalah $(x-2)$, sehingga $a=2$.
Kita hanya perlu menghitung nilai $P(2)$:
$P(2) = 2(2)^3 – 5(2)^2 + 4(2) + 1$
$P(2) = 2(8) – 5(4) + 8 + 1$
$P(2) = 16 – 20 + 8 + 1$
$P(2) = -4 + 8 + 1$
$P(2) = 4 + 1$
$P(2) = 5$
Jadi, sisa pembagian suku banyak $P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 4x + 1$ dibagi oleh $(x-2)$ adalah 5.
Contoh Soal 2.2: Teorema Faktor
Jika $(x+1)$ adalah salah satu faktor dari suku banyak $P(x) = x^3 + kx^2 – 7x – 3$, tentukan nilai $k$.
Pembahasan 2.2:
Menurut Teorema Faktor, jika $(x+1)$ adalah faktor dari $P(x)$, maka $P(-1)$ harus sama dengan 0.
Substitusikan $x = -1$ ke dalam $P(x)$:
$P(-1) = (-1)^3 + k(-1)^2 – 7(-1) – 3$
$P(-1) = -1 + k(1) + 7 – 3$
$P(-1) = -1 + k + 7 – 3$
$P(-1) = k + 3$
Karena $(x+1)$ adalah faktor, maka $P(-1) = 0$.
$k + 3 = 0$
$k = -3$
Jadi, nilai $k$ adalah -3.
3. Turunan (Diferensial) dan Aplikasinya
Turunan adalah konsep fundamental dalam kalkulus yang mengukur bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan inputnya. Di kelas 11 semester 2, Anda akan mendalami aturan-aturan turunan dan berbagai aplikasinya, seperti menentukan gradien garis singgung, interval fungsi naik/turun, nilai maksimum/minimum, dan kecepatan/percepatan.
Konsep Kunci:
- Definisi Turunan: $f'(x) = lim_h to 0 fracf(x+h) – f(x)h$
- Aturan Turunan:
- $f(x) = c implies f'(x) = 0$
- $f(x) = x^n implies f'(x) = nx^n-1$
- $(u pm v)’ = u’ pm v’$
- $(uv)’ = u’v + uv’$
- $(fracuv)’ = fracu’v – uv’v^2$
- Aturan Rantai: Jika $y = f(g(x))$, maka $y’ = f'(g(x)) cdot g'(x)$
- Aplikasi Turunan:
- Gradien Garis Singgung: $m = f'(x_1)$
- Fungsi Naik/Turun:
- $f'(x) > 0 implies$ fungsi naik
- $f'(x) < 0 implies$ fungsi turun
- Nilai Ekstrem (Maksimum/Minimum): Ditemukan pada titik stasioner ($f'(x) = 0$). Uji turunan kedua ($f”(x)$) atau uji tanda $f'(x)$ di sekitar titik stasioner.
- $f”(x) < 0 implies$ titik maksimum
- $f”(x) > 0 implies$ titik minimum
Contoh Soal 3.1: Fungsi Naik dan Turun
Tentukan interval di mana fungsi $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 1$ naik dan turun.
Pembahasan 3.1:
Langkah pertama adalah mencari turunan pertama dari fungsi $f(x)$:
$f'(x) = fracddx(x^3 – 6x^2 + 9x – 1)$
$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9$
Untuk mencari interval fungsi naik atau turun, kita cari titik stasioner dengan mengatur $f'(x) = 0$:
$3x^2 – 12x + 9 = 0$
Bagi seluruh persamaan dengan 3 untuk menyederhanakan:
$x^2 – 4x + 3 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(x-1)(x-3) = 0$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $f'(x) = 0$ adalah $x=1$ dan $x=3$. Ini adalah titik-titik kritis.
Sekarang kita buat garis bilangan dan uji tanda $f'(x)$ di setiap interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis:
- Interval 1: $x < 1$ (misal $x=0$)
$f'(0) = 3(0)^2 – 12(0) + 9 = 9$ (positif)
Jadi, fungsi naik pada interval $x < 1$. - Interval 2: $1 < x < 3$ (misal $x=2$)
$f'(2) = 3(2)^2 – 12(2) + 9 = 3(4) – 24 + 9 = 12 – 24 + 9 = -3$ (negatif)
Jadi, fungsi turun pada interval $1 < x < 3$. - Interval 3: $x > 3$ (misal $x=4$)
$f'(4) = 3(4)^2 – 12(4) + 9 = 3(16) – 48 + 9 = 48 – 48 + 9 = 9$ (positif)
Jadi, fungsi naik pada interval $x > 3$.
Kesimpulan:
- Fungsi $f(x)$ naik pada interval $x < 1$ atau $x > 3$.
- Fungsi $f(x)$ turun pada interval $1 < x < 3$.
Contoh Soal 3.2: Masalah Optimasi (Nilai Maksimum/Minimum)
Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari selembar karton berukuran 20 cm x 30 cm dengan memotong persegi sama besar dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran sisi persegi yang dipotong agar volume kotak menjadi maksimum.
Pembahasan 3.2:
Misalkan sisi persegi yang dipotong dari setiap sudut adalah $x$ cm.
Setelah dipotong dan dilipat, ukuran kotak akan menjadi:
- Panjang ($p$) = $30 – 2x$ cm
- Lebar ($l$) = $20 – 2x$ cm
- Tinggi ($t$) = $x$ cm
Volume kotak ($V$) adalah $p times l times t$:
$V(x) = (30 – 2x)(20 – 2x)x$
$V(x) = (600 – 60x – 40x + 4x^2)x$
$V(x) = (4x^2 – 100x + 600)x$
$V(x) = 4x^3 – 100x^2 + 600x$
Untuk mencari volume maksimum, kita harus mencari turunan pertama $V'(x)$ dan menyamakannya dengan nol:
$V'(x) = fracddx(4x^3 – 100x^2 + 600x)$
$V'(x) = 12x^2 – 200x + 600$
Set $V'(x) = 0$:
$12x^2 – 200x + 600 = 0$
Bagi seluruh persamaan dengan 4 untuk menyederhanakan:
$3x^2 – 50x + 150 = 0$
Gunakan rumus ABC untuk mencari nilai $x$:
$x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$
$x = frac-(-50) pm sqrt(-50)^2 – 4(3)(150)2(3)$
$x = frac50 pm sqrt2500 – 18006$
$x = frac50 pm sqrt7006$
$x = frac50 pm 10sqrt76$
$x = frac25 pm 5sqrt73$
Kita mendapatkan dua nilai $x$:
$x_1 = frac25 + 5sqrt73 approx frac25 + 5(2.64)3 = frac25 + 13.23 = frac38.23 approx 12.73$
$x_2 = frac25 – 5sqrt73 approx frac25 – 13.23 = frac11.83 approx 3.93$
Perhatikan batasan fisik masalah:
- $20 – 2x > 0 implies 2x < 20 implies x < 10$
- $30 – 2x > 0 implies 2x < 30 implies x < 15$
Jadi, $x$ harus kurang dari 10.
Nilai $x_1 approx 12.73$ tidak memenuhi syarat $x < 10$.
Nilai $x_2 approx 3.93$ memenuhi syarat $x < 10$.
Untuk memastikan ini adalah titik maksimum, kita bisa menggunakan uji turunan kedua:
$V”(x) = 24x – 200$
$V”(3.93) = 24(3.93) – 200 = 94.32 – 200 = -105.68$ (negatif)
Karena $V”(x) < 0$, maka $x approx 3.93$ menghasilkan volume maksimum.
Jadi, ukuran sisi persegi yang harus dipotong agar volume kotak menjadi maksimum adalah $x = frac25 – 5sqrt73$ cm.
4. Peluang
Peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Materi peluang di kelas 11 meliputi kaidah pencacahan (permutasi dan kombinasi), peluang suatu kejadian, dan peluang kejadian majemuk.
Konsep Kunci:
- Faktorial: $n! = n times (n-1) times dots times 2 times 1$
- Permutasi: Susunan objek dengan memperhatikan urutan.
- $P(n,r) = fracn!(n-r)!$ (permutasi $r$ objek dari $n$)
- Permutasi dengan unsur sama: $fracn!k_1! k_2! dots k_m!$
- Permutasi Siklis: $(n-1)!$
- Kombinasi: Susunan objek tanpa memperhatikan urutan.
- $C(n,r) = binomnr = fracn!r!(n-r)!$
- Ruang Sampel ($S$): Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
- Kejadian ($A$): Himpunan bagian dari ruang sampel.
- Peluang Kejadian: $P(A) = fracn(A)n(S)$, di mana $n(A)$ adalah banyaknya anggota kejadian A dan $n(S)$ adalah banyaknya anggota ruang sampel.
- Peluang Kejadian Majemuk:
- Peluang Gabungan ($A cup B$): $P(A cup B) = P(A) + P(B) – P(A cap B)$
- Peluang Kejadian Saling Lepas: $P(A cup B) = P(A) + P(B)$ (jika $A cap B = emptyset$)
- Peluang Kejadian Saling Bebas: $P(A cap B) = P(A) times P(B)$
Contoh Soal 4.1: Kombinasi
Dari 10 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menjabat sebagai Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Ada berapa banyak susunan pengurus yang mungkin terbentuk?
Pembahasan 4.1:
Dalam kasus ini, urutan pemilihan penting (Ketua, Sekretaris, Bendahara adalah posisi yang berbeda). Oleh karena itu, kita menggunakan konsep permutasi.
$n = 10$ (jumlah calon)
$r = 3$ (jumlah posisi yang akan diisi)
Rumus permutasi adalah $P(n,r) = fracn!(n-r)!$.
$P(10,3) = frac10!(10-3)!$
$P(10,3) = frac10!7!$
$P(10,3) = frac10 times 9 times 8 times 7!7!$
$P(10,3) = 10 times 9 times 8$
$P(10,3) = 720$
Jadi, ada 720 susunan pengurus yang mungkin terbentuk.
Contoh Soal 4.2: Peluang Kejadian
Sebuah kantong berisi 5 kelereng merah, 4 kelereng biru, dan 3 kelereng hijau. Jika diambil satu kelereng secara acak, tentukan peluang terambilnya:
a. Kelereng merah
b. Kelereng bukan biru
Pembahasan 4.2:
Pertama, hitung total jumlah kelereng dalam kantong (ruang sampel):
$n(S) = 5 text (merah) + 4 text (biru) + 3 text (hijau) = 12$ kelereng.
a. Peluang terambilnya kelereng merah:
Misalkan $A$ adalah kejadian terambilnya kelereng merah.
Jumlah kelereng merah adalah $n(A) = 5$.
Peluang terambilnya kelereng merah adalah $P(A) = fracn(A)n(S)$
$P(A) = frac512$
b. Peluang terambilnya kelereng bukan biru:
Ada dua cara untuk menyelesaikan ini:
-
Cara 1: Menghitung langsung.
Kelereng bukan biru berarti kelereng merah atau hijau.
Jumlah kelereng merah dan hijau adalah $5 + 3 = 8$.
Misalkan $B$ adalah kejadian terambilnya kelereng bukan biru.
$n(B) = 8$.
Peluang terambilnya kelereng bukan biru adalah $P(B) = fracn(B)n(S)$
$P(B) = frac812 = frac23$ -
Cara 2: Menggunakan peluang komplemen.
Misalkan $B’$ adalah kejadian terambilnya kelereng biru.
$n(B’) = 4$.
$P(B’) = frac412 = frac13$.
Peluang kejadian bukan biru adalah $P(B) = 1 – P(B’)$.
$P(B) = 1 – frac13 = frac23$.
Kedua cara memberikan hasil yang sama, yaitu $frac23$.
Tips Belajar Matematika Semester 2:
- Pahami Konsep, Jangan Hafal Rumus: Matematika adalah tentang pemahaman. Ketahui mengapa sebuah rumus digunakan dan bagaimana konsep dasarnya bekerja.
- Latihan Soal Beragam: Jangan terpaku pada satu jenis soal. Cari soal-soal dari berbagai sumber (buku, internet, bank soal) dengan tingkat kesulitan yang bervariasi.
- Kerjakan Soal dengan Langkah Jelas: Saat berlatih, biasakan menuliskan setiap langkah penyelesaian dengan rapi dan terstruktur. Ini membantu Anda melacak kesalahan dan memperkuat pemahaman.
- Tinjau Kembali Kesalahan: Setiap kali Anda salah, jangan langsung melihat kunci jawaban. Coba pahami di mana letak kesalahan Anda, apakah di konsep, perhitungan, atau strategi.
- Diskusi dengan Teman atau Guru: Jika ada konsep yang sulit atau soal yang tidak bisa dipecahkan, jangan ragu untuk bertanya kepada teman atau guru. Diskusi dapat membuka perspektif baru.
- Manfaatkan Teknologi: Gunakan aplikasi atau situs web edukasi yang menyediakan simulasi, visualisasi, atau latihan interaktif untuk membantu Anda memahami materi.
- Jaga Kesehatan: Belajar yang efektif membutuhkan pikiran yang segar. Pastikan Anda cukup istirahat, makan makanan bergizi, dan berolahraga.
Kesimpulan
Matematika kelas 11 semester 2 adalah fondasi penting yang akan membentuk kemampuan berpikir analitis dan pemecahan masalah Anda. Topik-topik seperti Lingkaran, Suku Banyak, Turunan, dan Peluang mungkin terasa menantang pada awalnya, tetapi dengan ketekunan, pemahaman konsep yang kuat, dan latihan yang konsisten, Anda pasti bisa menguasainya.
Jangan takut menghadapi kesulitan. Setiap soal yang berhasil Anda pecahkan adalah bukti kemajuan Anda. Teruslah berlatih, tetap semangat, dan yakinlah pada kemampuan diri Anda. Selamat belajar dan semoga sukses dalam perjalanan menguasai Matematika!